BZOJ1485 [HNOI2009]有趣的数列

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洛谷上很多省选题都没有题解，不得不找bzoj的题解

概述

50%

使用递推，在$\mathcal O(n^2)$的时间内得到答案，不过我没写对。

正解

通过暴力或者上述方法，打印出较小的答案，可能会发现规律。实际上这题就是求Catalan数(n-2)，有很多理解方式，常见的求法有三种（参见百度百科 ）：

  1. $f_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_i*f_{n-i-1}$ ，不能使用这个公式，因为也需要$\mathcal O(n^2)$
  2. $f_n=f_{n-1}*\frac{4n-2}{n+1}$ ，我本来以为可以用的，但是由于$p$不一定是一个质数，因此无法计算逆元以进行除法运算
  3. $f_n=\frac{\mathcal C_{2n}^{n}}{n+1}$ ，这是可用的公式

如果不熟悉组合数的求法，可以做一下计算系数 ，总结中给出代码。

其中$\frac{\mathcal C_{2n}^{n}}{n+1}=\frac{\prod\limits_{i=n+2}^{2n}i}{\prod\limits_{i=1}^ni}$，我们需要把所有$2n$之内的质数筛出来，同时得到每个数最小的质因数（欧拉线性筛法），进行约分再使用快速幂1得出结果。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2000005;
//注意是2*n
int mp[N], p[N / 10], cnt[N], r;
//mp[]表示每个数最小的质因数，p[]表示质数表，cnt[]用于计算指数，r为取模数
int qpow(int a, int b)
//快速幂：计算a^b%r
{
	int ans = 1;
	do
	{
		if (b & 1)
			ans = (long long)ans * a % r;
		a = (long long)a * a % r;
	} while (b /= 2);
	return ans;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n >> r;
	int pn = 0;
	for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)
	{
		if (!mp[i])
		{
			p[++pn] = i;
			mp[i] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= pn && i * p[j] <= 2 * n; j++)
		{
			mp[i * p[j]] = p[j];
			if (i % p[j] == 0)
				break;
		}
	}
	//欧拉线性筛法
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cnt[i] = -1;
	//需要除以分母
	for (int i = n + 2; i <= 2 * n; i++)
		cnt[i] = 1;
	//乘以分子
	for (int i = 2 * n; i > 1; i--)
		if (mp[i] < i)
		//如果是合数，向下传递，可以保证O(n)
		{
			cnt[mp[i]] += cnt[i];
			cnt[i / mp[i]] += cnt[i];
		}
	int ans = 1;
	for (int i = 2; i <= 2 * n; i++)
		if (mp[i] == i)
			//如果是质数计入答案，合数已经处理过了
			ans = (long long)ans * qpow(i, cnt[i]) % r;
	//防止中间过程溢出
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

总结

组合数相关

这题需要求组合数，我总结了一下我知道的组合数取模的求法（P1313模板）：

  1. 使用杨辉三角$\mathcal C_n^0=\mathcal C_n^n=1$ ，$\mathcal C_n^i=\mathcal C_{n-1}^i+\mathcal C_{n-1}^{i-1}$ 代码见这里
  2. 当$p$是质数时可以得出$a$的逆元为$a^{p-2}$ ，$\mathcal C_n^0=1$ ，$\mathcal C_n^i=\mathcal C_n^{i-1}\frac{k-i+1}{i}$ 代码见这里
  3. 当$p$不是质数时只能用上述方法，筛出质数并约分代码见这里

应该不需要解释吧

时间复杂度分析

在添加数时，也可以先把这个数分解，但应该会降低效率.

而我用的方法筛质数、添加数、向下传递都是$\mathcal O(n)$的，最后一步为$\pi(n)\log n$ 2，而$\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$ ，因此也近似于$\mathcal O(n)$ .

  1. 1.使用分治法在$\mathcal O(\log n)$的时间内计算出$a^b\mod p$. ↩
  2. 2.$\pi(n)$表示不超过$n$的质数个数 ↩